使用正弦波形的電路分析：RL 電路示例
　　在深入討論之前，應(yīng)該注意的是，正弦波形在解決許多工程和科學(xué)問(wèn)題方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用。例如，在電路分析中，了解不同頻率下對(duì)正弦波形的響應(yīng)，可以確定對(duì)其他類(lèi)型波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。為了更好地理解這一特性，我們來(lái)看看圖 1 所示的簡(jiǎn)單 RL （電阻-電感）電路?！　L 電路示例。

　　圖 1. RL 電路示例。
　　假設(shè)輸入是正弦電壓，由下式給出：
　　\[v_s = V_{m}cos（\omega t）\]
　　當(dāng) t = 0 時(shí)，開(kāi)關(guān)閉合，輸入施加到電路?？梢宰C明，流經(jīng)電路的電流由下式給出：
　　\[i=\frac{-V_{m}}{\sqrt{R^2+\omega^{2}L^{2}}}cos（\theta）e^{-（\frac{R}{L}）t}+\frac{V_{m}}{\sqrt{R^2+\omega^{2}L^{2}}}cos（\omega t-\theta）\]
　　其中 θ 是取決于 ω、L 和 R 的參數(shù)，上述方程中的第一項(xiàng)是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。顧名思義，瞬態(tài)響應(yīng)是暫時(shí)的，通常會(huì)隨著時(shí)間的推移而迅速消失，可能在幾毫秒內(nèi)消失。如果我們讓開(kāi)關(guān)保持閉合足夠長(zhǎng)的時(shí)間，我們將只剩下第二項(xiàng)，稱(chēng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。
　　穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與輸入頻率相同的正弦波。它的相位和幅度可能與輸入不同，但是，它具有相同的形狀和頻率。雖然我們?cè)谏厦嫜芯苛?RL 電路，但此特性適用于任何其他線性時(shí)不變 （LTI） 系統(tǒng)，無(wú)論是復(fù)雜的放大器還是一段導(dǎo)線。如果電路元件是線性且時(shí)不變的，則其對(duì)頻率為 ω 的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是相同頻率的正弦波。其他波形（例如方波）則不是這種情況，其中電路可以改變波形形狀并修改其幅度和相位。
　　對(duì)兩個(gè)正弦分量之和的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)
　　在上面的示例中，我們觀察到電路將輸入相位改變 -θ，并將輸入幅度乘以系數(shù) H，由下式給出：
　　\[H=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}}\]
　　這意味著，通過(guò)有 θ 和 H，我們可以確定任意頻率 ω 下正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如果我們同時(shí)在 ω 處施加兩個(gè)正弦輸入會(huì)怎樣1和 ω2?換句話(huà)說(shuō)，電路將如何響應(yīng)以下輸入：
　　\[v_s = V_{m1}cos（\omega_{1} t） + V_{m2}cos（\omega_{2} t）\]
　　由于假設(shè)電路是線性的，因此疊加原理指出，總輸出等于各個(gè)輸入元件產(chǎn)生的輸出之和。因此，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：
　　\[i=\frac{V_{m1}}{\sqrt{R^2+\omega_{1}^{2}L^{2}}}cos（\omega_{1} t-\theta_{1}） + \frac{V_{m2}}{\sqrt{R^2+\omega_{2}^{2}L^{2}}}cos（\omega_{2} t-\theta_{2}）\]
　　其中 θ1和 θ2是 Ω 處輸入分量所經(jīng)歷的相移1和 ω2分別。因此，如果我們知道不同頻率下正弦分量的響應(yīng)，我們也可以確定對(duì)任意正弦分量之和的響應(yīng)。
　　對(duì)任意波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)
　　讓我們更進(jìn)一步！知道了對(duì)不同正弦輸入的響應(yīng)，我們能否確定對(duì)周期性非正弦波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？例如，如果我們輸入圖 2 中描述的方波，我們?nèi)绾未_定電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？　　請(qǐng)注意，圖 2 僅顯示了輸入波形的一個(gè)周期;換句話(huà)說(shuō)，假設(shè)圖中描繪的部分會(huì)隨著時(shí)間的推移以周期性的方式重復(fù)自身。

　　方波示例。
　　圖 2. 方波示例。
　　這就是傅里葉級(jí)數(shù)的突出之處。傅里葉級(jí)數(shù)允許我們用正弦波形來(lái)描述任意周期波形，例如上面的方波。由于我們知道電路對(duì)各個(gè)正弦分量的響應(yīng)，因此我們還可以應(yīng)用疊加定理來(lái)找到對(duì)任意波形的響應(yīng)。
　　正弦函數(shù)和：從正弦波和方波中學(xué)習(xí)
　　在討論傅里葉級(jí)數(shù)方程之前，讓我們嘗試定性地描繪一些正弦函數(shù)的總和如何表示任意波形。考慮圖 2 中的上述方波。我們能否用單個(gè)正弦函數(shù)來(lái)近似這個(gè)波形？
　　如圖 3 所示，與方波頻率相同（本例中為 1 Hz）的正弦波非常適合方波，并沿 x 軸表現(xiàn)出相同的過(guò)零點(diǎn)。暫時(shí)，我們不用擔(dān)心這個(gè)正弦波的幅度是如何選擇的?！　∮脝蝹€(gè)正弦波近似方波。

　　圖 3.用單個(gè)正弦波近似方波。
　　在上圖中，兩個(gè)波形的整體形狀有一些相似之處，但它們?nèi)匀挥泻艽蟮牟煌?。方波在每個(gè)半周期保持恒定。但是，正弦波分別在方波的正半周期和負(fù)半周期的中點(diǎn)達(dá)到其最大值和最小值。與正弦波不同，方波在過(guò)渡處的變化更加突然。
　　總體而言，正弦波似乎無(wú)法趕上方波的突然變化。在這種情況下，單個(gè)正弦波似乎不是方波的可接受近似值。但是，如果我們添加另一個(gè)正弦分量呢？通過(guò)添加另一個(gè)具有適當(dāng)幅度和頻率的正弦波，我們可能能夠獲得更好的近似值。如圖 4 中的紅色曲線所示，在本例中，這個(gè)新的正弦波為 3 Hz。　　示例 3 Hz 的正弦波。

　　圖 4. 示例 3 Hz 的正弦波。
　　青色和紅色曲線在方波過(guò)渡附近具有相同的極性。因此，當(dāng)兩個(gè)正弦波相加時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)過(guò)渡比單個(gè)正弦波更尖銳的波形。然而，對(duì)于 0.1667 < t < 0.3333 和 0.6667 < t < 0.8333，兩個(gè)正弦波具有相反的極性。隨著更尖銳的過(guò)渡和平坦的波峰和波谷，兩個(gè)正弦波的和可以產(chǎn)生更準(zhǔn)確的表示（圖 5）。　　兩個(gè)正弦波和一個(gè)方波的示例波形。

　　圖 5. 兩個(gè)正弦波和一個(gè)方波的示例波形。
　　這表明，通過(guò)添加更多具有適當(dāng)幅度和頻率的正弦分量，我們可以獲得更好的方波近似。例如，使用 10 個(gè)適當(dāng)選擇的正弦波，我們得到圖 6 所示的波形?！　★@示方波和 10 個(gè)正弦波的示例。

　　圖 6. 顯示方波和 10 個(gè)正弦波的示例。
　　既然我們知道可以將周期信號(hào)表示為正弦分量之和，剩下的問(wèn)題是，如何計(jì)算給定波形的這些正弦分量？
　　了解傅里葉級(jí)數(shù)方程 - 求傅里葉級(jí)數(shù)表示
　　假設(shè) f（t） 是周期為 T 的周期信號(hào)。我們可以用正弦分量的無(wú)限和來(lái)表示 f（t），如下所示：
　　\[f（t）=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos（n\omega_{0}t）+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin（n\omega_{0}t）\]
　　方程 1.
　　哪里：
　　一個(gè)0一個(gè)n和 bn是信號(hào)的傅里葉系數(shù)
　　\（\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}\） 表示周期信號(hào)的基頻頻率 \（n\omega_{0}\） 被稱(chēng)為波形的 n 次諧波。系數(shù)可以通過(guò)以下公式計(jì)算：
　　\[a_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）dt\]
　　方程 2.
　　\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）cos（n \omega_0 t）dt\]
　　方程 3.
　　\[b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）sin（n \omega_0 t）dt\]
　　方程 4.
　　請(qǐng)注意，積分可以在波形的任何任意周期內(nèi)取，這意味著它不一定是 $$-\frac{T}{2}$$ 到 $$+\frac{T}{2}$$ 的區(qū)間。
　　但是，它需要是波形的一個(gè)完整周期。在某些情況下，適當(dāng)?shù)剡x擇積分的起點(diǎn)可以使計(jì)算不那么麻煩。
　　例如，讓我們找到圖 7 所示的周期電壓的傅里葉級(jí)數(shù)?！　≈芷谛噪妷菏纠?。

　　圖 7. 周期性電壓示例。
　　通過(guò)應(yīng)用公式 2，我們得到：
　　\[a_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{0}0 \times dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} A \times dt=\frac{A}{2}\]
　　接下來(lái)，公式 3 得到 an系數(shù)為：
　　\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）cos（n \omega_0 t）dt=\frac{2}{T}\int_{0}^{+\frac{T}{2}}Acos（n \omega_0 t）dt = 0\]
　　如果你讀過(guò)我本系列的另一篇文章，它是關(guān)于傅里葉系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的，上面的結(jié)果應(yīng)該不足為奇。在消除圖 7 中方波的 DC 值后，我們得到了一個(gè)具有奇數(shù)對(duì)稱(chēng)性的波形。對(duì)于奇數(shù)信號(hào)，我們有一個(gè)n= 0 表示所有 n。
　　最后，通過(guò)應(yīng)用公式 4，我們得到 bn系數(shù)，如下所示：
　　\[b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）sin（n \omega_0 t）dt=\frac{2}{T}\int_{0}^{+\frac{T}{2}}Asin（n \omega_0 t）dt\]
　　你可以驗(yàn)證上述積分在偶數(shù) n 時(shí)為零。對(duì)于 n 的奇數(shù)值，我們得到：
　　\[b_n = \frac{2A}{n \pi}\]
　　因此，將我們的結(jié)果代入公式 1，我們可以將該波形的傅里葉級(jí)數(shù)寫(xiě)為：
　　\[f（t）=\frac{A}{2} +\frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin（（2n-1）\omega_{0}t）}{2n-1}\]
　　請(qǐng)注意 n 變量是如何調(diào)整的，以考慮只有 \（\omega_{0}\） 的奇數(shù)倍的正弦曲線才是非零的。